Significado de la derivada

Puesto que
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0),
La derivada de la función en un punto x0no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0,f(x0)).
Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
- Se pide el valor de f"(1) (en este caso, x0 = 1).
f´(1) = [f(1 + h) - f(1)]/h
f(1 + h) = 3.(1 + h) + 5 = 3.h + 8
f(1) = 3.1 + 5 = 8
f´(1) = [3.h + 8 - 8]/h
f´(1) = 3.h/h
f´(1) = 3 = 3
Por tanto, f´(1) = 3.
Calcular la derivada de la función f(x) = √x en el punto 2.
Resolución:
f´(2) = [f(2 + h) - f(2)]/h
f(2 + h) = √2 + h
f(2) = √2
f´(2) = [√2 + h - √2]/h
multiplicando numerador y denominador por √2 + h + √2 (conjugado del numerador)
f´(2) = [(√2 + h - √2).(√2 + h + √2)]/[h.(√2 + h + √2)]
Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:
(√2 + h - √2).(√2 + h + √2) = 2 + h - 2 = h
f´(2) = h/[h.(√2 + h + √2)]
f´(2) = 1/(√2 + h + √2)
f´(2) = 1/(√2 + 0 + √2) = 1/(√2 + √2) = 1/(2.√2)