Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.
[(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (1)
Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
(1) = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x + h) + f(x).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (2)
Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,
(2) = {g(x + h).[f(x + h) - f(x)] + f(x).[g(x + h) - g(x)]}/h = g(x + h).[f(x + h) - f(x)]/h + f(x).[g(x + h) - g(x)]/h
Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,
g(x + h) = g(x)
pues g es continua en x ya que es derivable en x.
[f(x + h) - f(x)]/h = f´(x)
por definición de derivada.
f(x) = f(x)
al no depender f(x) de h.
[g(x + h) - g(x)]/h = g´(x)
por definición.
Por tanto, (f.g)´(x) = [(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
Ejercicio: cálculo de derivadas
Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.
Resolución:
Si se llama f(x) = x, f´(x) = 1
Si g(x) = ln x, g´(x) = 1/x
® [f(x).g(x)]´ = 1.ln x + x.(1/x) = ln x + 1
Calcular la derivada de h(x) = (x ²/2).sen x
Resolución:
Si f(x) = x ², f´(x) = 2.x
Si g(x) = sen x, g´(x) = cos x
® h(x)´ = (1/2).(2.x.sen x + x ².cos x)

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando
[(f + g)(x + h) - (f + g)(x)]/h = [f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)]/h = [f(x + h) - f(x) + g(x + h) - g(x)]/h
Descomponiendo en suma de dos límites
[f(x + h) - f(x)]/h + [g(x + h) - g(x)]/h = f´(x) + g´(x)
La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
[ f(x) + g(x)]´ = f´(x) + g´(x)

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

CALCULO DE DERIVADAS

Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
f´(a) = [f(a + h) - f(a)]/h = 0/h = 0
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Si f(x) = C Þ f´(x) = 0
Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
[f(x + h) - f(x)]/h = [m.(x + h) - b - (m.x + b)]/h = m.h/h = m
y
m = m = f´(x)
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Si f(x) = m.x + b Þ f´(x) = m
Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
[k.f(x + h) - k.f(x)]/h =
k. [f(x + h) - f(x)]/h = k.f´(x) (sacando factor común k, ya que no depende de h)
Se ha demostrado que
(k · f(x))´ = k · f´(x)
Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
Demostración:
Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que
[f(x0 + h) = f(x0)]/h,
o lo que es equivalente, que
[f(x0 + h) - f(x0)]/h = 0
Pero
f(x0 + h) - f(x0) = h.[f(x0 + h) - f(x0)]/h
Tomando límites cuando h tiende a 0.[ f(x0 + h) - f(x0)] = h. [f(x0 + h) - f(x0)]/h
de donde, por ser f(x) derivable, [ f(x0 + h) - f(x0)] = f´(x0).0 = 0, resultado al que se quería llegar.
Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.
Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función x, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f´(x0).
Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0)), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.
2. La idea que hasta ahora se tenía de tangente a una curva como la recta que posee un único punto común con ella no es nada apropiada.

Significado de la derivada

Puesto que
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0),
La derivada de la función en un punto x0no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0,f(x0)).
Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
- Se pide el valor de f"(1) (en este caso, x0 = 1).
f´(1) = [f(1 + h) - f(1)]/h
f(1 + h) = 3.(1 + h) + 5 = 3.h + 8
f(1) = 3.1 + 5 = 8
f´(1) = [3.h + 8 - 8]/h
f´(1) = 3.h/h
f´(1) = 3 = 3
Por tanto, f´(1) = 3.
Calcular la derivada de la función f(x) = √x en el punto 2.
Resolución:
f´(2) = [f(2 + h) - f(2)]/h
f(2 + h) = √2 + h
f(2) = √2
f´(2) = [√2 + h - √2]/h
multiplicando numerador y denominador por √2 + h + √2 (conjugado del numerador)
f´(2) = [(√2 + h - √2).(√2 + h + √2)]/[h.(√2 + h + √2)]
Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:
(√2 + h - √2).(√2 + h + √2) = 2 + h - 2 = h
f´(2) = h/[h.(√2 + h + √2)]
f´(2) = 1/(√2 + h + √2)
f´(2) = 1/(√2 + 0 + √2) = 1/(√2 + √2) = 1/(2.√2)

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0)) y(x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)).
Si α h es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0)),(x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0)), se verifica:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, tg α h tiende a tg α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)).
Esto se expresa matemáticamente así:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = tg αh
Derivada de una función en un punto
Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al límite, si existe y es finito (un número), [f(x0 + h) - f(x0)]/h y se simboliza por f´(x0) (f prima de equis subcero) o por D (f(x0)):
[f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0) = D(f(x0))
Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

DERIVADA DE UNA FUNCION

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0,y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.

historia de las derivadas

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro pais.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.