Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
Demostración:
Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que
[f(x0 + h) = f(x0)]/h,
o lo que es equivalente, que
[f(x0 + h) - f(x0)]/h = 0
Pero
f(x0 + h) - f(x0) = h.[f(x0 + h) - f(x0)]/h
Tomando límites cuando h tiende a 0.[ f(x0 + h) - f(x0)] = h. [f(x0 + h) - f(x0)]/h
de donde, por ser f(x) derivable, [ f(x0 + h) - f(x0)] = f´(x0).0 = 0, resultado al que se quería llegar.
Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.
Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función x, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.