Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f´(x0).
Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0)), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.
2. La idea que hasta ahora se tenía de tangente a una curva como la recta que posee un único punto común con ella no es nada apropiada.