DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0)) y(x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)).
Si α h es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0)),(x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0)), se verifica:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, tg α h tiende a tg α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)).
Esto se expresa matemáticamente así:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = tg αh
Derivada de una función en un punto
Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al límite, si existe y es finito (un número), [f(x0 + h) - f(x0)]/h y se simboliza por f´(x0) (f prima de equis subcero) o por D (f(x0)):
[f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0) = D(f(x0))
Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.