Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.
[(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (1)
Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
(1) = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x + h) + f(x).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (2)
Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,
(2) = {g(x + h).[f(x + h) - f(x)] + f(x).[g(x + h) - g(x)]}/h = g(x + h).[f(x + h) - f(x)]/h + f(x).[g(x + h) - g(x)]/h
Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,
g(x + h) = g(x)
pues g es continua en x ya que es derivable en x.
[f(x + h) - f(x)]/h = f´(x)
por definición de derivada.
f(x) = f(x)
al no depender f(x) de h.
[g(x + h) - g(x)]/h = g´(x)
por definición.
Por tanto, (f.g)´(x) = [(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
Ejercicio: cálculo de derivadas
Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.
Resolución:
Si se llama f(x) = x, f´(x) = 1
Si g(x) = ln x, g´(x) = 1/x
® [f(x).g(x)]´ = 1.ln x + x.(1/x) = ln x + 1
Calcular la derivada de h(x) = (x ²/2).sen x
Resolución:
Si f(x) = x ², f´(x) = 2.x
Si g(x) = sen x, g´(x) = cos x
® h(x)´ = (1/2).(2.x.sen x + x ².cos x)