CALCULO DE DERIVADAS

Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
f´(a) = [f(a + h) - f(a)]/h = 0/h = 0
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Si f(x) = C Þ f´(x) = 0
Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
[f(x + h) - f(x)]/h = [m.(x + h) - b - (m.x + b)]/h = m.h/h = m
y
m = m = f´(x)
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Si f(x) = m.x + b Þ f´(x) = m
Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
[k.f(x + h) - k.f(x)]/h =
k. [f(x + h) - f(x)]/h = k.f´(x) (sacando factor común k, ya que no depende de h)
Se ha demostrado que
(k · f(x))´ = k · f´(x)
Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.